OpenGL系列-变换和矩阵栈

变换

在OpenGL 下，对一个物体进行位移、旋转、缩放等操作，我们一般使用矩阵(Matrix)对象去操作物体。

在深入了解变换矩阵之前，我们首先要了解一下向量。

向量

向量最基本的定义就是一个方向。即向量有一个方向和大小。

向量可以在任意维度上，如果一个向量有 2 个维度，它表示一个平面的方向，当它有 3 个维度的时候，则可以表示一个 3D 世界的方向。

通常，向量表示为：

$$ \vec v = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix} \right) $$

标量只是一个数字（或者说是仅有一个分量的向量）。

当向量与标量进行运算时，会像这样：

$$ \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ w \end{matrix} \right) + x = \left( \begin{matrix} 1 + x \\ 2 + x \\ 3 + x \\ w + x \end{matrix} \right) $$

其中的 + 可以是加减乘除

向量相乘

普通的乘法在向量上是没有定义的，因为它在视觉上是没有意义的。但是在相乘的时候我们有两种特定情况可以选择：

点乘，记作 $\vec v \cdot \vec k$
叉乘，记作 $\vec v \times \vec k$

向量点乘

点乘的几何意义是可以用来计算两个向量之间的夹角，以及 b 向量在 a 向量方向上的投影

公式为：（具体的推导过程，不在这里展开）

$$ a \cdot b = |a||b|cos\theta $$

向量叉乘

叉乘的结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于 a 和 b 向量构成的平面。

在 3D 图像学中，通过两个向量的叉乘，生成的是垂直于 a、b 的法向量，从而构建 x、y、z 坐标系

两个正交向量 A 和 B 叉积：

$$ \left( \begin{matrix} A_x \\ A_y \\ A_z \\ \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} B_x \\ B_y \\ B_z \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} A_y \cdot B_z - A_z \cdot B_y \\ A_z \cdot B_x - A_x \cdot B_z \\ A_x \cdot B_y - A_y \cdot B_x \\ \end{matrix} \right) $$

矩阵

矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组，就是一个矩形的数学表达式阵列。

矩阵的数乘

矩阵与标量之间的乘法

$$ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right] \cdot 2 = \left[ \begin{matrix} 1 \cdot 2 & 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 & 4 \cdot 2 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ \end{matrix} \right] $$

矩阵相乘

矩阵之间的相乘，有一些限制：

只有当左侧矩阵的列数和右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘
矩阵相乘不遵守交换律

比如，下面两个 2*2 矩阵相乘的列子：

$$ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \\ \end{matrix} \right] $$

矩阵与向量相乘

在 OpenGL 中，我们通常用向量来表示位置、颜色、纹理坐标。

我们可以把向量看作是 $N \times 1$ 矩阵，N 表示向量分量的个数。

这样便满足了，矩阵的列数等于向量的行数。

$$ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right] $$

单位矩阵

在 OpenGL 中，我们通常使用 $4 \times 4$ 的变换矩阵，这是因为大部分的向量都是 4分量的。

单位矩阵是一个除了对角线以外都是 0 的 $N \times N$ 矩阵。

$$ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] $$

单位矩阵是生成其他变换矩阵的起点

在数学中为了方便计算，矩阵是以行矩阵为标准，根据以下过程相乘：
顶点坐标 = 顶点坐标 · 模型矩阵 · 观察矩阵 · 投影矩阵

$$ Vec = \vec V_{local} \cdot M_{model} \cdot M_{view} \cdot M_{projection} $$

在 OpenGL 中，矩阵都是以列矩阵为标准的，为了满足矩阵相乘的规则，需要将数学中的相乘过程按右往左相乘，即：
顶点坐标 = 投影矩阵 · 观察矩阵 · 模型矩阵 · 顶点坐标

$$ Vec = M_{projection} \cdot M_{view} \cdot M_{model} \cdot \vec V_{local} $$

矩阵栈

OpenGL 中的变换一般包括视图变换、模型变换、投影变换等，在每次变换后，OpenGL 会记住新的状态。

但是，有时候在经过一些变换后，我们想回到原来的状态，便可以借助使用矩阵栈来回到原来的状态。

过程分析

首先，对于矩阵的操作都是对于矩阵栈的栈顶元素来操作的。

当前矩阵就是矩阵栈的栈顶元素。

整个过程如图：

压栈 PushMatrix()
取出当前矩阵，进行矩阵相乘 MultMatrix()（变换、缩放、旋转）
将结果压入矩阵栈
出栈 PopMatrix()，恢复到原来的状态